Cool Folders ® :: Форум Игротека :: задача из матанализа

задача из матанализа

№ 1

Автор: Урод и мразь
Дата : 05-08-03, Втр, 10:48:41

Доказать, что из любой ограниченной последовательности можно выделить монотонную подпоследовательность.

http://www.israforum.com

задача из матанализа

№ 2

Автор: dU
Дата : 05-08-03, Втр, 14:45:59

Ну, блин, математика

Интуитивно ясно, что можно... Передрать доказательство из Фихтенгольца, что ли?

..."малость" возмущения должна быть порядка

(произвольных единиц!)

задача из матанализа

№ 3

Автор: lev bulochkin
Дата : 05-08-03, Втр, 15:24:49

А мне интуитивно совершенно неясно, даже наоборот - "любой ограниченной" - очень тяжелое для монотонности сочетание условий. Вот "неограниченной" звучало бы обнадеживающе. Подозреваю, что доказательство достаточно морочливое.

..Нет-нет!Не надо сразу соглашаться! Давайте лучше подумаем...

задача из матанализа

№ 4

Автор: Сэр Шурф Лонли-Локли
Дата : 05-08-03, Втр, 15:35:37

Автор: dU
Дата : 05-08-03, Tue, 21:45:59

Ну, блин, математика
Интуитивно ясно, что можно... Передрать доказательство из Фихтенгольца, что ли?

а слабо непередерать?

The difference between Stupidity and Genius is that Genius has its limits...

задача из матанализа

№ 5

Автор: Урод и мразь
Дата : 05-08-03, Втр, 16:03:19

dU, в Фихтене нет

А если бы было, то запрещено было смотреть.

lev bulochkin, мне тоже было неясно. Но - можно!

А доказательство простое и красивое (впрочем, морочливые тоже есть

)

http://www.israforum.com

задача из матанализа

№ 6

Автор: dU
Дата : 05-08-03, Втр, 16:55:14

Ну, раз в Фихтене нет, то с чистой совестью заглянул в него, а там...
Лемма Больцано-Вейерштрасса: Из любой ограниченной последовательности можно извлечь такую частичную последовательность, которая сходилась бы к конечному пределу.
Берем эту частичную последовательность и выкидываем все элементы, нарушающие монотонность (т.е. либо те, что больше предела, либо те, что меньше).
Все.

Не знаю, что тут такого навороченно-путанного. Вот пример теоремы, которая мне интуитивно не ясна:
Перестановка членов в неабсолютно сходящемся ряде может изменить сумму и даже сделать ряд расходящимся.

Автор: Сэр Шурф Лонли-Локли
а слабо непередерать?

Слабо. С математикой не в ладах

..."малость" возмущения должна быть порядка

(произвольных единиц!)

задача из матанализа

№ 7

Автор: Урод и мразь
Дата : 05-08-03, Втр, 17:02:12

> Берем эту частичную последовательность и выкидываем все элементы, нарушающие монотонность (т.е. либо те, что больше предела, либо те, что меньше).
Все.

Не всё!

Выбросили те, которые меньше предела (к примеру). Получили сходящуюся последовательность, все элементы которой больше предела. Но она не обязана быть монотонной.

http://www.israforum.com
[ 06-08-03, Wed, 0:02:35 Отредактировано: Урод и мразь ]

задача из матанализа

№ 8

Автор: dU
Дата : 05-08-03, Втр, 17:13:00

Да, действительно, не все.
Тогда берем оставшуюся последовательность и проводим следующий процесс:
1. Берем первый её член. Сравниваем с каждым из остальных. Выкидываем все, что больше.
2. Берем второй член (из оставшихся). Повторяем.
3. ...
...
Ввиду того, что уже известно, что предел есть, такой процесс возможен, в смысле, что он будет бесконечным и не застрянет, если же застревает - начинаем сначала, но теперь работаем с теми элементами, которые меньше предела.

Мда, как уже говорил, с математикой у меня напряженка.

..."малость" возмущения должна быть порядка

(произвольных единиц!)

задача из матанализа

№ 9

Автор: Willy
Дата : 06-08-03, Срд, 07:54:00

Ну например a1=0, a2=1, a3=0, ..., a(2i-1)=0, a2i=1, ..., т.е. последовательность из чередующихся нулей и единиц. Она ограничена. Является ли ее подпоследовательность 0, 0, ..., 0, ... монотонной? Ведь все ее элементы одинаковы?

задача из матанализа

№ 10

Автор: Урод и мразь
Дата : 06-08-03, Срд, 08:35:19

Считаем, что да. То есть монотонность требуется нестрогая.

http://www.israforum.com
[ 06-08-03, Wed, 15:37:00 Отредактировано: Урод и мразь ]

задача из матанализа

№ 11

Автор: lev bulochkin
Дата : 08-08-03, Птн, 11:32:06

Обозначим dn=A(n+1)-A(n) разность между соседними членами исходной последовательности.
Любой член A(n)можно выразить как A(n)= A(1)+d1+d2+d3+...+d(n-1);
Пока члены d имеют один знак, последовательность монотонна;
Поскольку последовательность ограниченная, сумма любого количества членов d - число конечное;
К любой конечной сумме можно применить аксиому группировки:
A(n)=d1+[d2+d3+...d(k)]+[d(k+1)+...d(m)]+... группируя члены (но не меняя порядок!)так,
чтобы частичные суммы имели один и тот же знак- допустим,положительный.
Далее возможны два случая:
1)Мы получим монотонный ряд A(m)=D1+D2+...D(m),где D(m) - "положительные групповые суммы",
все члены которого принадлежат исходной последовательности;
2)Мы наткнемся на группу [d(k)+d(k+1)+...] ,которая будет сохранять
противоположный предыдущим групповым суммам знак до бескoнечности.
Тогда мы просто строим на этой группе монотонную последовательность
A(k)=A1+D(k),A(k+1)=A(k)+D(k)+d(k+1),A(k+2)=A(k)+D(k)+d(k+1)+d(k+2),...
выкинув всю предыдущую часть в помойку.

..Нет-нет!Не надо сразу соглашаться! Давайте лучше подумаем...
[ 08-08-03, Fri, 18:34:14 Отредактировано: lev bulochkin ]

задача из матанализа

№ 12

Автор: lev bulochkin
Дата : 09-08-03, Сбт, 09:59:52

Эй, математики, вы что - вымерли?
Где критика?
Эта задачка оказалась для меня самой сложной. Для "задачи Эйнштейна" нужно было только терпение и аккуратность, по поводу "задачи Дирака" пришлось вспоминать логарифмы, а над этой я думал четыре дня. Так что с нетерпением жду ваших оценок.

..Нет-нет!Не надо сразу соглашаться! Давайте лучше подумаем...

задача из матанализа

№ 13

Автор: Урод и мразь
Дата : 09-08-03, Сбт, 15:06:24

лев булочкин, неправильное доказательство.

возможно, что d(k)<0, d(k)+d(k+1)<0, d(k)+d(k+1)+d(k+2)<0 и так далее, НО:

последовательность А1+D(k), A1+D(k)+d(k+1), A1+D(k)+d(k+1)+d(k+2) ... - не монотонная.

http://www.israforum.com
[ 09-08-03, Sat, 22:06:56 Отредактировано: Урод и мразь ]

задача из матанализа

№ 14

Автор: lev bulochkin
Дата : 09-08-03, Сбт, 17:29:57

Доказательство может быть и не очень,
но: если каждый следующий член меньше предыдущего - лучшей монотонности и не бывает.
d(m)- это РАЗНОСТИ между соседними членами ряда А(n).
Если все они отрицательные , А(n) убывает монотонно.

..Нет-нет!Не надо сразу соглашаться! Давайте лучше подумаем...

задача из матанализа

№ 15

Автор: Урод и мразь
Дата : 10-08-03, Вск, 08:45:33

нет, не они отрицательные, а их суммы d(k), d(k)+d(k+1), d(k)+d(k+1)+d(k+2) ...

http://www.israforum.com

задача из матанализа

№ 16

Автор: lev bulochkin
Дата : 10-08-03, Вск, 14:24:19

Уважаемый Урод и мразь!
Если есть возмржность послать Вам подробный текст по e-mail или факсу, мы возможно начнем говорить об одном и том же. Пока, мне кажется, у нас короткое замыкание на связи.
lev_bulochkin@yahoo.com

..Нет-нет!Не надо сразу соглашаться! Давайте лучше подумаем...

задача из матанализа

№ 17

Автор: Паша
Дата : 15-08-03, Птн, 02:50:23

Что-то я не понял ваших извращений. После двухминутного раздумья в голову пришло следующее:
1. В ограниченной последовательности есть сходящаяся подпоследовательность.
2. Оставляем в ней только те члены, в которой каждый следующий член не дальше от предела чем предыдущий.
3. Делим на две части, одна сверху, другая снизу.
4. Одна из двух частей является искомой монотонной подпоследовательностью.

задача из матанализа

№ 18

Автор: lev bulochkin
Дата : 15-08-03, Птн, 17:39:13

Уважаемый Паша,
Пункт

Автор: Паша
Дата : 15-08-03, Fri, 9:50:23
...
2. Оставляем в ней только те члены, в которой каждый следующий член не дальше от предела чем предыдущий.
...

предполагает, что предел сходящейся подпоследовательности Вам известен. Но факт существования предела - это одно, а знание значения предела - это совсем другое. Вот мы и изгаляемся, строя доказательство, которое не требует знать, чему именно равен предел сходящейся подпоследовательности.
Доказательство в учебниках базируется на методе половинного деления - у Вас тоже есть этот элемент, но мне оно не очень нравится. Урод и мразь, возможно, встречал другое.

..Нет-нет!Не надо сразу соглашаться! Давайте лучше подумаем...

задача из матанализа

№ 19

Автор: Урод и мразь
Дата : 16-08-03, Сбт, 14:22:03

Паша - правильно.

Другой метод - берём первый элемент. Из следующих элементов или бесконечно много элементов меньше его, или бесконечно много больше. В первом случае - отбрасываем все, которые больше, во втором - отбрасываем все, которые меньше.

Берём следующий из оставшихся и проводим с ним ту же процедуру, и так до бесконечности.

Получилась бесконечная подпоследовательность, в которой каждый элемент или больше всех последующих, или меньше.

Или там бесконечно много максимумов, или бесконечно много минимумов. В первом случае выбрасываем все максимумы, во втором - все минимумы.

Лев Булочкин, а нам и не нужно знать, чему равен предел. Довольно того, что он есть.

http://www.israforum.com

задача из матанализа

№ 20

Автор: dU
Дата : 16-08-03, Сбт, 15:51:59

УиМ, я уже совсем запутался...
Чем твое доказательство отличается от моего (кроме одного бесполезного шага в моем)?

..."малость" возмущения должна быть порядка

(произвольных единиц!)

задача из матанализа

№ 21

Автор: lev bulochkin
Дата : 16-08-03, Сбт, 17:43:33

Автор: Урод и мразь
Дата : 16-08-03, Sat, 21:22:03

Лев Булочкин, а нам и не нужно знать, чему равен предел. Довольно того, что он есть.

Уважаемый Урод и мразь !
В Вашей версии - не нужно, а в Пашиной - нужно. Иначе пункт 2 выполнить невозможно.

..Нет-нет!Не надо сразу соглашаться! Давайте лучше подумаем...

задача из матанализа

№ 22

Автор: Урод и мразь
Дата : 16-08-03, Сбт, 17:57:42

В Пашиной тоже не нужно.

Пункт 2 выполнить возможно. Мы не знаем, какой предел, но но есть, значит, есть и подпоследовательность, содержащая все элементы исходной посл-сти, большие (или меньшие) предела.

http://www.israforum.com

задача из матанализа

№ 23

Автор: lev bulochkin
Дата : 17-08-03, Вск, 15:58:04

Уважаемый Урод и мразь!
А Вы попробуйте написать алгоритм, который выполняет Пашин п.2 не зная предела. Ведь суть описанной операции - сравнить два члена по степени близости к пределу?

..Нет-нет!Не надо сразу соглашаться! Давайте лучше подумаем...

задача из матанализа

№ 24

Автор: Урод и мразь
Дата : 17-08-03, Вск, 18:16:43

Алгоритма не требуется. Требуется док-ть, что подпоследовательность есть, а не дать алгоритм её нахождения.

http://www.israforum.com