Cool Folders ® :: Форум Игротека :: задача из студенческой олимпиады по математике

задача из студенческой олимпиады по математике

Автор: Урод и мразь
Дата : 06-12-04, Пнд, 06:32:09

Пусть f(x) - положительная, убывающая, дифференцируемая, выпуклая вниз функция, определенная на R и стремящаяся к 0 при х стремящемся к бесконечности.

В области, ограниченной осью Ох и графиком функции, находится точечный источник света. Источник находится выше оси Ох, свет отражается от границ области. Доказать, что есть такое N>0, что часть области, расположенная правее оси x=N, будет неосвещена.

Не играйте с пианистом - он стреляет, как умеет.
[ 06-12-04, Mon, 13:34:20 Отредактировано: Урод и мразь ]

задача из студенческой олимпиады по математике

№ 2

Автор: Большой Грызь
Дата : 06-12-04, Пнд, 10:32:23

Мм.. док-во я сейчас не приведу (решаю другую задачу), только общий путь

Прежде всего обозначения. Пусть источник света находится в точке (x0,y0). При этом, естественно, выполняется 0 < y0 < f(x0) (т.е. точка находится выше оси, но ниже графика).

Из этой точки можно провести лишь две касательные к функции - в точке (x1,y1) (x1<x0) и в точке (x2,y2) (x2>x0). Первая не интересует - возьмём лишь вторую. То, что есть только эти две касательные - это доказывается из двух фактов: убывающая и выпуклая вниз (материал первого инфи).

Вся область между касательной и графиком функции правее точки x2 - освещена не будет. Потому что:
1) прямые лучи от источника в эту область попасть не могут.
2) все лучи, отраженные от точек x3, расположенных левее x2 пройдут ниже точки y2 (иначе отраженный луч пересекал бы график).

Соответственно, если возьмем N=x2, то и получим то, что требуется.

Это так.. док-во на словах.

Жизнь человека немного стоит по сравнению с его делом.
Но чтобы делать дело, надо жить.
(Э. Хемингуэй)
[ 06-12-04, Mon, 17:44:32 Отредактировано: Большой Грызь ]

задача из студенческой олимпиады по математике

№ 3

Автор: Урод и мразь
Дата : 06-12-04, Пнд, 11:27:13

Нет, освещена и область правее х2. См. рисунок:

(Лучи отражаются как от графика функции, так и от оси Ох, и могут отражаться сколько угодно раз)

Не играйте с пианистом - он стреляет, как умеет.

задача из студенческой олимпиады по математике

№ 4

Автор: Большой Грызь
Дата : 06-12-04, Пнд, 11:30:10

конец рабочего дня блин.. я "прочитал" - "от графика"

Жизнь человека немного стоит по сравнению с его делом.
Но чтобы делать дело, надо жить.
(Э. Хемингуэй)

задача из студенческой олимпиады по математике

№ 5

Автор: Урод и мразь
Дата : 06-12-04, Пнд, 11:57:30

Это из всесоюзной олимпиады для студентов-математиков. Вряд ли она простая.

Не играйте с пианистом - он стреляет, как умеет.
[ 06-12-04, Mon, 19:00:10 Отредактировано: Урод и мразь ]
[ 06-12-04, Mon, 19:06:54 Отредактировано: Урод и мразь ]

задача из студенческой олимпиады по математике

№ 6

Автор: Pitek
Дата : 08-12-04, Срд, 08:50:50

На словах 2.
Поскольку кривая положительная, убывающая, дифференцируемая, выпуклая вниз и имеет в ассимптоте 0, то (путем несложных выкладок

) частота отражений света от кривой и оси Х будет увеличиваться. В какой-то бесконечно далекой точке угол падения света на ось Х составит 90 градусов ровно. И, соответственно, уже никуда нафиг не отразится (точнее - даст задний ход). Соответственно область, правее этой точки будет неосвещена.

Все это в теории, так как кривая будет настолько близка к оси Х, что это уже микромир, а так другие законы.

задача из студенческой олимпиады по математике

№ 7

Автор: Урод и мразь
Дата : 08-12-04, Срд, 17:40:14

частота отражений света от кривой и оси Х будет увеличиваться. В какой-то бесконечно далекой точке угол падения света на ось Х составит 90 градусов ровно.

А как второе следует из первого?

Не играйте с пианистом - он стреляет, как умеет.

задача из студенческой олимпиады по математике

№ 8

Автор: a-dagger
Дата : 09-12-04, Чтв, 04:19:30

Автор: Урод и мразь

А как второе следует из первого?

Да, т.к. по условию, функция выпуклая вниз и угол отражения от кривой будет постоянно уменьшаться.

Фсе граматичиские ашипки в маих пастах зделаны мной намерино, в здравам уме и тфёрдой памети.

задача из студенческой олимпиады по математике

№ 9

Автор: Pitek
Дата : 09-12-04, Чтв, 04:33:18

Автор: Урод и мразь
Дата : 09-12-04, Thu, 0:40:14

А как второе следует из первого?

Так, как написал а-кинжал, плюс рисунок на бумажке

задача из студенческой олимпиады по математике

№ 10

Автор: Урод и мразь
Дата : 09-12-04, Чтв, 04:43:11

> Да, т.к. по условию, функция выпуклая вниз и угол отражения от кривой будет постоянно уменьшаться.

Из того, что он будет уменьшаться, ещё не следует, что луч когда-нибудь станет нормалью к оси абсцисс. Может, угол с осью абсцисс будет стремиться к 35 градусам?

Не играйте с пианистом - он стреляет, как умеет.
[ 09-12-04, Thu, 11:57:51 Отредактировано: Урод и мразь ]

задача из студенческой олимпиады по математике

№ 11

Автор: Pitek
Дата : 09-12-04, Чтв, 11:08:07

Автор: Урод и мразь
Дата : 09-12-04, Thu, 11:43:11

> Да, т.к. по условию, функция выпуклая вниз и угол отражения от кривой будет постоянно уменьшаться.

Из того, что он будет уменьшаться, ещё не следует, что луч когда-нибудь станет нормалью к оси абсцисс. Может, угол с осью абсцисс будет стремиться к 35 градусам?

Не может - функция в ассимптоте имеет 0. Соответственно угол между графиком и осью Х будет стремиться к 0(или к 180, как больше нравится).

задача из студенческой олимпиады по математике

№ 12

Автор: Урод и мразь
Дата : 09-12-04, Чтв, 12:15:39

Не может - функция в ассимптоте имеет 0.
Соответственно угол между графиком и осью Х будет стремиться к 0(или к 180, как больше нравится).

Угол между графиком и осью Х будет стремиться к 0.

А угол между лучом и графиком (а также лучом и осью Х) может стремиться к чему угодно.

Не играйте с пианистом - он стреляет, как умеет.

задача из студенческой олимпиады по математике

№ 13

Автор: Урод и мразь
Дата : 09-12-04, Чтв, 12:19:01

Из того, что

угол отражения от кривой будет постоянно уменьшаться.

Угол между графиком и осью Х будет стремиться к 0.

не следует, что

В какой-то бесконечно далекой точке угол падения света на ось Х составит 90 градусов ровно.

Может, угол отражения от кривой уменьшается, стремясь к 35 с половиной градусов. Угол падения света на ось Х стремится к тем же 35 с половиной градусом.

Не играйте с пианистом - он стреляет, как умеет.

задача из студенческой олимпиады по математике

№ 14

Автор: Pitek
Дата : 12-12-04, Вск, 05:25:52

"функция в ассимптоте имеет 0"
Не забывайте про это!
Допустим, что угол падения света на ось Х стремится к У (не важно , что это такое, важно что У меньше 90 градусов).
Упал, отразился (зеркально, разумеется). Попал на график, отразился опять на Х.
Теперь: график убывающий (!), свет отразится как бы от касательной, которая отнюдь не параллельна Х. (блин, ну не вставлять же мне сюда картинку!)
Соответственно новый угол падения на Х будет больше У для ЛЮБОГО У, меньше 90.

Что и требовалось доказать

задача из студенческой олимпиады по математике

№ 15

Автор: Урод и мразь
Дата : 12-12-04, Вск, 07:20:04

Автор: Pitek
Дата : 12-12-04, Sun, 12:25:52

"функция в ассимптоте имеет 0"
Не забывайте про это!

Не забываем.

Допустим, что угол падения света на ось Х стремится к У (не важно , что это такое, важно что У меньше 90 градусов).

Допустим.

Упал, отразился (зеркально, разумеется).

Да.

Попал на график, отразился опять на Х.

Да.

Теперь: график убывающий (!), свет отразится как бы от касательной, которая отнюдь не параллельна Х.

Да.

Соответственно новый угол падения на Х будет больше У для ЛЮБОГО У, меньше 90.

Нет.

Не больше У, а больше старого угла. А старый угол строго меньше, чем У, потому что угол стремится к У и возрастает.

Например, упал под углом 31 градус - отразился - отразился - упал под углом 33 гадуса - отразился - отразился - упал под углом 34 - ... 34.5 ... 34.75 ....

Не играйте с пианистом - он стреляет, как умеет.
[ 12-12-04, Sun, 15:38:58 Отредактировано: Урод и мразь ]
[ 12-12-04, Sun, 16:10:22 Отредактировано: Урод и мразь ]

задача из студенческой олимпиады по математике

№ 16

Автор: Паша
Дата : 12-12-04, Вск, 12:24:46

Не спорте. Очевидно, что угол будет сходиться к некой константе плюс удвоенная сумма производных этой функции в точках соудорения. Осталось только доказать, что эта сумма расходится. Очевидно, что если приблизить задачу к сумме производных в одинакого отстоящих друг от друга точках, то сумма расходиться не будет. То есть, если сумма и расходится, то нужна более тонкая оценка. Как-то, учитывая сближение точек соударений, надо свести сумму к сумме 1/п. Исходя из того, что сумма произведений производной функции и отрезка до следующей точки где-то равно самой функции, если мы забрались савсем далеко по оси Х.

задача из студенческой олимпиады по математике

№ 17

Автор: Урод и мразь
Дата : 12-12-04, Вск, 12:52:37

Не обязательно, что сумма будет расходиться для всех функций.

Может, сумма иногда и будет сходиться, но в этих случаях и лучи тоже будут сходиться к какой-то точке.

Не играйте с пианистом - он стреляет, как умеет.
[ 12-12-04, Sun, 19:54:13 Отредактировано: Урод и мразь ]
[ 12-12-04, Sun, 21:17:13 Отредактировано: Урод и мразь ]

задача из студенческой олимпиады по математике

№ 18

Автор: Паша
Дата : 14-12-04, Втр, 14:31:54

Если под лучами ты имел в виду касательные к функции, то я твоей мысли не понял...

задача из студенческой олимпиады по математике

№ 19

Автор: Урод и мразь
Дата : 15-12-04, Срд, 19:06:24

> Очевидно, что угол будет сходиться к некой константе плюс удвоенная сумма производных этой функции в точках соудорения. Осталось только доказать, что эта сумма расходится.

То есть ты утверждаешь, что угол рано или поздно станет больше 90 градусов:

Я говорю, что возможно, для некоторых быстро сходящихся функций угол будет сходиться к величине, меньшей 90 градусов, но лучи (от источника света) всё равно далеко не уйдут.

Не играйте с пианистом - он стреляет, как умеет.

задача из студенческой олимпиады по математике

№ 20

Автор: Паша
Дата : 17-12-04, Птн, 17:34:03

Хм, хотелось доказать более строгое утверждение. Возможно поэтому и не сложилось. Оставалось ощущение, что есть функции, где эта сумма сходится. В общем похоже, что если интеграл функции сходится, то и отражённый луч сойдётся. Теперь видимо осталось доказать, что если интеграл расходится, то луч развернётся...