Cool Folders ® :: Форум Игротека :: О прямоугольнике

О прямоугольнике

Дата : 09-09-05, Птн, 08:18:30

Из разных прямоугольных плиток, у которых длина одной из сторон является целым числом, а второй - нецелым, составлен большой прямоугольник. А-ля паркет.

Доказать, что длина одной из сторон большого прямоугольника обязательно целая.

Жизнь человека немного стоит по сравнению с его делом.
Но чтобы делать дело, надо жить.
(Э. Хемингуэй)

О прямоугольнике

№ 2

Феликс

Дата : 09-09-05, Птн, 12:46:59

Я хочу заметить, что все целые длины плиток можно считать равными 1.

О прямоугольнике

№ 3

Паша

Дата : 11-09-05, Вск, 03:21:29

Если нецелая сторона рациональна (М/К), то доказательство очевидно через площадь большого прямоугольника и кратность количества нецелых сторон по одному из направлений числу "К".
Если же число иррационально, то начнём движение из верхнего левого угла вниз и вправо таким образом, что мы всегда идём по целой стороне маленького прямоугольника из угла в угол. И тут мы обнаруживаем интересную особенность, связанную с иррациональностью стороны маленького прямоугольника. Всегда, когда мы вынужденны сделать поворот, мы находимся в верхнем левом угле очередного маленького прямоугольника, а значит мы всегда можем продолжить наше движение вправо вниз, пока не добирёмся до нижней или правой стороны большого прямоугольника. Дальше совсем просто, учитывая, что весь пройденный путь был целым.

О прямоугольнике

№ 4

Феликс

Дата : 11-09-05, Вск, 10:12:00

Паша, а можно поподробнее в случае рациональной (M/K) нецелой стороны большого прямоугольника? Почему колличество нецелых сторон по одному из направлений кратно K?

О прямоугольнике

№ 5

Паша

Дата : 11-09-05, Вск, 15:05:41

Хм, и тут неожиданно обнаружилось, что легко это только если К простое число. Вот что значит в уме прикидывать. Ещё немного осталось...

О прямоугольнике

№ 6

Большой Грызь

Дата : 11-09-05, Вск, 15:47:27

Паша, или я чего-то недопонял или.. Ты учитываешь в своём решении, что маленькие прямоугольные "паркетины" могут отличаться друг от друга? Их объединяет лишь одно - длина одной из сторон - целая, а второй - нет. Т.е. прямоугольнички могут быть, например: 2/3 x 5, pi x 2, e x 3, (pi - e) x 4, (4 - pi) x 1 и так далее - любые значения и все разные.

Жизнь человека немного стоит по сравнению с его делом.
Но чтобы делать дело, надо жить.
(Э. Хемингуэй)

О прямоугольнике

№ 7

Феликс

Дата : 11-09-05, Вск, 16:53:42

Грызь, то что "паркетины" отличаются друг от друга можно и не учитывать. Например, если все длины - рациональные, то каждую "паркетину" можно разделить на "новые паркетины", так что все "новые паркетины" будут одинаковы у всех "паркетин".

О прямоугольнике

№ 8

Феликс

Дата : 11-09-05, Вск, 23:04:14

Паша, если К - не простое число, просто увеличь все прямоугольники в целое колличество раз, и К станет простым. Можно подробности для простого К?

О прямоугольнике

№ 9

Большой Грызь

Дата : 11-09-05, Вск, 23:22:04

Например, если все длины - рациональные

А, если нет?

Жизнь человека немного стоит по сравнению с его делом.
Но чтобы делать дело, надо жить.
(Э. Хемингуэй)

О прямоугольнике

№ 10

Феликс

Дата : 12-09-05, Пнд, 01:26:49

Удалено автором

[ 12-09-05, Пнд, 14:42:21 Отредактировано: Феликс ]

О прямоугольнике

№ 11

Паша

Дата : 12-09-05, Пнд, 07:06:36

Так, блин.
Грызь, я не заметил, что прямоугольники могут быть разными, дай мне сначала хоть с этим случаем разобраться.
Феликс, вторая часть моего рассуждения не проходит в случае рациональности - могу привести контрпример.

О прямоугольнике

№ 12

Большой Грызь

Дата : 12-09-05, Пнд, 07:10:17

Аха.. при одинаковых "иррациональных" плитках действительно легко.. Бо, как их не стыкуй вдоль иррациональной стороны - целое не получишь.
Но с разными плитками номер не проходит. Например: pi + (5-pi) = 5.

Жизнь человека немного стоит по сравнению с его делом.
Но чтобы делать дело, надо жить.
(Э. Хемингуэй)

О прямоугольнике

№ 13

Феликс

Дата : 12-09-05, Пнд, 07:22:36

Удалено автором.

[ 12-09-05, Пнд, 14:29:10 Отредактировано: Феликс ]

О прямоугольнике

№ 14

Феликс

Дата : 17-09-05, Сбт, 18:18:03

Будем считать все целые длины паркетин равными 1. Обозначим буквой А множество всех паркетин с нецелой верхней стороной, которая находится на целочисленном расстоянии от верха большого прямоугольника. Обозначим буквой B множество всех остальных паркетин с нецелой верхней стороной. Пересечём большой прямоугольник горизонтальной прямой в каком либо месте
и обозначим через SA и SB суммарную длину её отрезков принадлежащих прямоугольникам из A и B соответственно. Пусть горизонтальная прямая скользит сверху вниз. Тогда числа (SA+SB) отличаются друг от друга на целые числа. Число SA может меняться только при прохождении горизонтальной прямой через целочисленное значение расстояния от верха большого прямоугольника, причём некоторое расстояние после этого прохождения SB не меняется.
Отсюда следует, что все SB отличаются друг от друга на целые числа. Поскольку на
самом верху SB=0, то все SB - целые числа. Значит все SA отличаются друг от друга на целые числа. Если в каком-то месте SA=0, то все SA - целые числа, в том числе SA на самом верху, и тогда верхняя сторона большого прямоугольника - целое число. Если же ни в каком месте SA не равно 0, то боковая сторона большого прямоугольника - целое число.

О прямоугольнике

№ 15

Krasnaja Shapka

Дата : 19-09-05, Пнд, 02:29:31

а куда девать паркетины с целой верхней стороной? т.е. может оказаться, что SA + SB <> стороне большого прямоугольника.

Если ясность вашего объяснения исключает ложное толкование, все равно кто-то поймет вас неправильно.

О прямоугольнике

№ 16

Феликс

Дата : 19-09-05, Пнд, 02:34:33

Автор: Krasnaja Shapka
Дата : 19-09-05, Пнд, 09:29:31

а куда девать паркетины с целой верхней стороной? т.е. может оказаться, что SA + SB <> стороне большого прямоугольника.

Конечно, SA + SB <> стороне большого прямоугольника. Я этого и не утверждал. Я утверждал,
что числа (SA + SB) отличаются друг от друга (при различных положениях горизонтальной прямой) на целое число. Потому что (SA + SB) отличается от стороны большого прямоугольника на целое число.

О прямоугольнике

№ 17

Krasnaja Shapka

Дата : 19-09-05, Пнд, 05:44:40

Автор: Феликс
Дата : 18-09-05, Вск, 01:18:03
Пусть горизонтальная прямая скользит сверху вниз. Тогда числа (SA+SB) отличаются друг от друга на целые числа.

если я правильно понял, то здесь:

для прямых l и n, это число SA+SB может отличаться и на не целое число... так как нижняя сторона и у A1 и у А2 не целые.

Если ясность вашего объяснения исключает ложное толкование, все равно кто-то поймет вас неправильно.

О прямоугольнике

№ 18

Феликс

Дата : 19-09-05, Пнд, 07:13:14

Krasnaja Shapka,

Нижняя сторона у А1 и А2 не целые, но разница между ними будет целое число. По-другому быть не может, так как длина горизонтальной стороны большого прямоугольника равна SA+SB+cумма целых чисел.

О прямоугольнике

№ 19

Krasnaja Shapka

Дата : 19-09-05, Пнд, 07:24:26

ну а так?

я отлично понимаю что так не может быть, но доказательства этого не вижу

((

Если ясность вашего объяснения исключает ложное толкование, все равно кто-то поймет вас неправильно.
[ 19-09-05, Пнд, 14:25:10 Отредактировано: Krasnaja Shapka ]
[ 19-09-05, Пнд, 14:26:50 Отредактировано: Krasnaja Shapka ]

О прямоугольнике

№ 20

Феликс

Дата : 19-09-05, Пнд, 07:41:50

Krasnaja Shapka, так быть не может, потому что прямоугольники из А не могут "пересекаться"
по вертикали. Потому что верхняя сторона прямоугольника из А находится на целом расстоянии
от верха большого прямоугольника, а боковая сторона имеет длину 1. Правда, нижняя сторона
одного прямоугольника и верхняя сторона другого могут находиться на одной линии, и немного
видоизменив рисунок, вы можете задать тот же вопрос. Если вы сделаете это, то я объясню, почему новый рисунок невозможен по другой причине.

О прямоугольнике

№ 21

Krasnaja Shapka

Дата : 20-09-05, Втр, 02:19:19

я к тому, что ваше доказательство не доделано
для примера:

p.s. я тут подумал, может все и гуд....

е еще чуть-чуть подумаю....

Если ясность вашего объяснения исключает ложное толкование, все равно кто-то поймет вас неправильно.
[ 20-09-05, Втр, 09:20:43 Отредактировано: Krasnaja Shapka ]
[ 20-09-05, Втр, 09:50:31 Отредактировано: Krasnaja Shapka ]

О прямоугольнике

№ 22

Феликс

Дата : 20-09-05, Втр, 06:34:14

Так быть не может, потому что оба расстояния от левой стороны большого прямоугольника до первого прямоугольника из А по линии l и n не могут быть целыми, иначе их разность равная горизонтальной стороне прямоугольника из А была бы целой. Значит слева должны быть ещё какие -то паркетины из А или из B, которые не показаны на вашем рисунке.
Так что недоделан ваш рисунок, а не моё доказательство.

О прямоугольнике

№ 23

Krasnaja Shapka

Дата : 20-09-05, Втр, 10:09:16

Автор: Феликс
Дата : 20-09-05, Втр, 13:34:14

Так быть не может, потому что оба расстояния от левой стороны большого прямоугольника до первого прямоугольника из А по линии l и n не могут быть целыми, иначе их разность равная горизонтальной стороне прямоугольника из А была бы целой. Значит слева должны быть ещё какие -то паркетины из А или из B, которые не показаны на вашем рисунке.
Так что недоделан ваш рисунок, а не моё доказательство.

согласен.... просто док-во не нравится

какое-то исскуственное, не явное... но в принципе согласен. имеет быть.

Если ясность вашего объяснения исключает ложное толкование, все равно кто-то поймет вас неправильно.

О прямоугольнике

№ 24

Феликс

Дата : 20-09-05, Втр, 10:30:46

Krasnaja Shapka, я был рад, что нашёл хоть какое

.
После этого, я посмотрел решение этой задачи. Оно основано на площадях.

О прямоугольнике

№ 25

Феликс

Дата : 21-09-05, Срд, 16:34:15

Моё доказательство можно немного упростить, потому что необязательно доказывать, что все SB целые числа. Также можно не предполагать целые длины равными 1. Если боковая сторона большого прямоугольника - не целое число, то SA=0 на нижней стороне большого прямоугольника. Упрощённое доказательство:

Обозначим буквой А множество всех паркетин с нецелой верхней стороной, которая находится на целочисленном расстоянии от верха большого прямоугольника. Обозначим буквой B множество всех остальных паркетин с нецелой верхней стороной. Пересечём большой прямоугольник горизонтальной прямой в каком либо месте и обозначим через SA и SB суммарную длину её отрезков принадлежащих прямоугольникам из A и B соответственно. Пусть горизонтальная прямая скользит сверху вниз. Тогда числа (SA+SB) отличаются друг от друга на целые числа. Число SA может меняться только при прохождении горизонтальной прямой через целочисленное значение расстояния от верха большого прямоугольника, причём некоторое расстояние до и после этого прохождения SB не меняется.
Отсюда следует, что все SА отличаются друг от друга на целые числа. Если боковая сторона большого прямоугольника - не целое число, то на нижней его стороне SA=0, тогда SA на верхней его стороне тоже целое число, и значит верхняя сторона - целое число.

[ 22-09-05, Чтв, 06:37:04 Отредактировано: Феликс ]