Cool Folders ® :: Форум Игротека :: задача (трудная!)

задача (трудная!)

Дата : 15-10-05, Сбт, 15:54:10

Возле жесткой стенки (но достаточно далеко) на горизонтальном полу лежит
шар массы <M>, на перпендикуляре между этим шаром и стенкой лежит шар
массы <m> ( m<M). Большой шар начинает двигаться точно к стенке с
какой-то скотостью. Малый шар начинает биться между стенкой и большим
шаром (все соударения абсолютно жесткие и лобовые). Далее N - число ударов
малого шара со стенкой и большим шаром.
Сам не проверял, но утверждается что при
M/m=1, N=3 (всем ежам ясно

)
M/m=100, N=31
M/m=10000, N=314
M/m=1000000, N=3141, не веришь, проверь

Доказать
что при (M/m--> бесконечность), (N/sqrt(M/m) --> Pi) где N число
соударений малого шара с большим и стенкой.

[ 15-10-05, Сбт, 22:13:42 Отредактировано: Урод и мразь ]

задача (трудная!)

№ 2

Willy

Дата : 16-10-05, Вск, 12:31:16

Доказал довольно просто, все заняло менее часа, решение отправил лично УиМ, думайте

задача (трудная!)

№ 3

Феликс

Дата : 16-10-05, Вск, 12:50:58

Первые формулы

Будем считать скорости положительными, если они направлены к стенке.
Обозначим скорости шаров при столкновении через V и v, а после столкновения через V1 и v1.
Из закона сохранения энергии имеем: M*V1^2+m*v1^2=M*V^2+m*v^2, а из закона сохранения импульса: M*V1+m*v1=M*V+m*v.
Преобразуем первое уравнение к виду: M*(V1-V)*(V1+V)=-m*(v1-v)*(v1+v), а второе уравнение к виду: M*(V1-V)=-m*(v1-v). Деля одно на другое получим: V1+V=v1+v или V1-v1=-V+v.
Решая уравнения M*V1+m*v1=M*V+m*v и V1-v1=-V+v получим:

V1=((M-m)*V+2*m*v)/(M+m), v1=(2*M*V-(M-m)*v)/(M+m).

Предположим v<=0, а v1>0. Тогда большой шар уже не догонит маленький, пока тот не достигнет стенки. Он мог бы догнать его только если V1>0, но в этом случае V>0 и значит
V1-v1=-V+v<0, значит V1<v1, и он его не догонит. Отразившись от стенки маленький шар меняет направление, поэтому при любом столкновении v<=0.

[ 16-10-05, Вск, 18:52:51 Отредактировано: Феликс ]
[ 16-10-05, Вск, 18:53:50 Отредактировано: Феликс ]

задача (трудная!)

№ 4

Феликс

Дата : 16-10-05, Вск, 12:56:05

Вилли, ты тоже выводил формулы, или можно проще?

задача (трудная!)

№ 5

Willy

Дата : 17-10-05, Пнд, 00:29:24

Нет Феликс, я сразу рассматривал случай M>>m, когда после соударения шаров скорость большого мняется очень мало (насколько мало? Изменение V с числом ударов надо тоже учесть), а скорость маленького равна в твоих обозначениях -v+2V, последнее следует из твоей формулы в предельном случае, но очевидно и так (для вывода достаточно перейти в систему отсчета, связанную с большим шаром, а потом обратно в лаботаторную). Ну а большой и маленький шарик сталкиваются очевидно после каждого последующего отражения маленького от стенки вопрос до каких пор они сталкиваются!

задача (трудная!)

№ 6

Феликс

Дата : 17-10-05, Пнд, 10:45:43

Вилли, пока V>0 они сталкиваются. Когда V станет отрицательным, то они продолжат сталкиваться пока -v>-V, что эквивалентно -v1<-V1, так как V1-v1=-V+v. Поэтому если v1<0,
то больше столкновений не будет. Последнее же неотрицательное значение v1 обязательно достигается, поскольку из v1>=0 следует -v/-V>=2*M/(M-m)>2>1.

Если v1>=0 то -v1 будет следующим значением v, поэтому для значений V(n) и v(n) выполняются следующие рекурентные соотношения:

V(n+1)=a*V(n)+b*v(n), v(n+1)=c*V(n)+d*v(n),

где a=(M-m)/(M+m), b=2*m/(M+m), c=-2*M/(M+m), d=(M-m)/(M+m).

Выведем рекурентное соотношение для v(n) не содержащее V(n).
Имеем:

c*V(n+1)=c*a*V(n)+c*b*v(n)=a*v(n+1)+(c*b-a*d)*v(n).

Значит c*V(n)=a*v(n)+(c*b-a*d)*v(n-1).

Значит v(n+1)=(a+d)*v(n)+(c*b-a*d)*v(n-1) или

v(n+1)=A*v(n)-v(n-1), где A=2*(M-m)/(M+m), поскольку c*b-a*d=-1.

Дальше, я надеюсь, дело техники

задача (трудная!)

№ 7

Willy

Дата : 17-10-05, Пнд, 11:59:36

Феликс, верно шары перестанут сталкиваться когда большой поменяет направление движения и его скорость будет равна -V0, где V0 начальная скорость (опять же в пределе M>>m), но я делал все не с помощью рекуррентных формул, а по другому намного проще. Кажется техника в случае рекуррентного метода приводит к длинным вычислениям, которые возможно и можно довести до конца и получить в пределе искомое pi sqrt(M/m), попробуй

[ 17-10-05, Пнд, 18:17:12 Отредактировано: Willy ]

задача (трудная!)

№ 8

Феликс

Дата : 17-10-05, Пнд, 13:09:48

Вилли, никаких длинных вычислений. Если v(0)=0, v(1)=1, то v(n)=(x1^n-x2^n)/(x1-x2),
где x1=A/2+i*sqrt(1-A^2/4), x2=A/2-i*sqrt(1-A^2/4).
Положим sqrt(1-A^2/4)=sin(t), A/2=cos(t), тогда v(n)=sin(n*t)/sin(t).
Значит v(n)<0 при первом n>PI/t. В пределе PI/t тоже самое что PI/sin(t) или
PI/sqrt(1-A^2/4)=PI*(M+m)/sqrt(4*m*M). Если разделить это выражение на sqrt(M/m) то в пределе получим PI/2. Если учесть столкновения со стенкой получим PI

задача (трудная!)

№ 9

Willy

Дата : 18-10-05, Втр, 01:46:48

Феликс, трудно проверить как ты получил общую рекуррентную формулу(не очень ясно почему
v(1)=1), но подозреваю, что правильно, поскольку в результате пришел к верному ответу, раз уж ты поместил свое решение, то вот мое, мне кажется более простое.

Решаем сразу в случае m/M << 1, после n-go удара (n - число соударений малого и большого шаров, то есть ~N/2) из сохранения импульса: MV-mv=MV1+m(2V+v), поскольку ясно, что скорость малого шара равна после удара 2V+v, это можно переписать как
М(V1-V)=-m(2V+2v)или если в пределе считать V непрерывной функцией от n, то
V1-V=delta(V)/1=delta(V)/delta(n)= dV/dn, следовательно

МdV/dn= -m(2V+2v)(1)

Далее из закона сохранения энергии MV0^2=MV^2+mv^2, откуда следует
v=sqrt[(V0^2-V^2)M/m], подставим это v в (1) и получим
dV/dn=-(m/M)(2V+2sqrt[(V0^2-V^2)M/m]).

Ввиду m/M<<1 пренебрегаем первым членом в правой части и получаем:

dV/dn=-2sqrt(m/M)x sqrt(V0^2-V^2), или dn/sqrt(M/m)=-dV/2/sqrt(V0^2-V^2).

Интегрируем по V, от V0 do -V0, поскольку маленький шарик после этого перестанет ударять по большому. Получим n/sqrt(M/m)= -(1/2)[arcsin(1)-arcsin(-1)]= pi/2, ну а N=2n= pi x sqrt(M/m)

[ 18-10-05, Втр, 11:41:14 Отредактировано: Willy ]
[ 19-10-05, Срд, 09:07:09 Отредактировано: Willy ]

задача (трудная!)

№ 10

Феликс

Дата : 18-10-05, Втр, 02:49:27

Вилли, на самом деле v(1) не обязательно единица. Я нашёл, что если v(1)=1, то v(n)=sin(n*t)/sin(t). В общем случае v(n)=v(1)*sin(n*t)/sin(t), но это не меняет дальнейший ход решения. В формуле v(n)=(x1^n-x2^n)/(x1-x2), x1 и x2 - решения квадратного уравнения:
x^2=A*x-1. Дело в том, что v(n)=x1^n и v(n)=x2^n удовлетворяют рекурентному соотношению:
v(n+1)=A*v(n)-v(n-1), поэтому ему удовлетворяет и v(n)=(x1^n-x2^n)/(x1-x2), причём эта формула даёт v(0)=0 и v(1)=1.

В твоём доказательстве непонятно на каком основании delta(V)/delta(n)= dV/dn ? Я думаю, что для найденной тобой непрямолинейной фунцкии V(n) это вообще неверно. Кроме этого твои приближения требуют обоснования. В частности не превратиться ли малая ошибка в большую при интегрировании? С другой стороны если бы ты сумел справиться с этими трудностями, то твоё
доказательство было бы действительно проще чем моё.

[ 18-10-05, Втр, 08:51:14 Отредактировано: Феликс ]
[ 18-10-05, Втр, 09:14:12 Отредактировано: Феликс ]

задача (трудная!)

№ 11

Willy

Дата : 18-10-05, Втр, 03:21:19

Феликс, если относительные изменения V при каждом ударе, то есть при delta(n)=1 малы и n>>1, то как обычно можно перейти от дискретного ряда n к непрерывному, естественно такая замена конечных приращений производной справедлива лишь в случае, когда M>>m. В дифференциальном уравнении , где я пренебрег V, V<<v во всех точках кроме V=+-V0, a эта область вносит малый вклад в интеграл, лень расписывать все подробнее.

Ну а твое решение понятно, хотя додуматься как получить общий член v(n) непросто.

[ 18-10-05, Втр, 09:24:37 Отредактировано: Willy ]

задача (трудная!)

№ 12

Феликс

Дата : 18-10-05, Втр, 09:35:27

Вилли, твоё утверждение, что конечные приращения можно заменить на производные нуждается в обосновании. Я не понимаю даже, что ты имеешь в виду под словом "можно".

[ 18-10-05, Втр, 16:01:33 Отредактировано: Феликс ]

задача (трудная!)

№ 13

Willy

Дата : 18-10-05, Втр, 12:13:47

Феликс, просто это стандартный прием в матанализе, ну чтобы стало ясно возьми простейшую функцию f(n)= n^2, и сосчитай delta(f)/delta(n)=[(n+1)^2-n^2]/1=2n+1, если n>>1, то последнее выражение равно приближенно 2n, то есть производной функции f. То же получишь и если возьмешь любую другую функцию, скажем V0xcos(2n/sqrt(M/m)), которая дает скорость V в моем методе. Кстати интересно твой метод дает ту же формулу для скорости V как функции n? Можешь сосчитать в пределе M/m>>1?

[ 18-10-05, Втр, 18:38:18 Отредактировано: Willy ]

задача (трудная!)

№ 14

Феликс

Дата : 18-10-05, Втр, 13:30:34

Вилли, по моему методу получается точная формула V(n)=V0*cos(n*arccos((M-m)/(M+m))).

Я не понимаю в каком смысле твоя формула является её приближением.

PS. По-моему в твоём решении нужно arcsin исправить на arccos.

[ 18-10-05, Втр, 21:04:44 Отредактировано: Феликс ]

задача (трудная!)

№ 15

Willy

Дата : 18-10-05, Втр, 16:20:48

Феликс, мне неохота раскладывать arccos в твоем выражении для V, давай сравним наши выражения для v. Из закона сохранения энергии в моем решении (постинг 9) имеем
v=sqrt[(V0^2-V^2)M/m], подставляем сюда мое решение для V= V0*cos(2n/sqrt(M/m)) и получаем:

v=V0*sin(n*2*sqrt(m/M))/sqrt(m/M).

Теперь берем твое решение v(n)=v(1)*sin(n*t)/sin(t), поскольку в нем t~sint=2sqrt(m/M)(проверь в случае m/M<<1!), то имеем

v(n)=v(1)*sin(n*2*sqrt(m/M))/(2*sqrt(m/M)), но ясно, что в нашем приближении (m/M<<1)
v(1)=2V0, и тогда твое решение для v(n) полностью совпадает с моим!

задача (трудная!)

№ 16

Willy

Дата : 18-10-05, Втр, 16:29:53

Не поленился, разложил arccos в твоем решении для V и получил, что для m/M<<1
arccos(M-m)/(M+m)~2sqrt(m/M)(проверь!), следовательно совпадают и выражения для V!

задача (трудная!)

№ 17

Феликс

Дата : 18-10-05, Втр, 17:00:46

Вилли, то что arccos(M-m)/(M+m)~2sqrt(m/M) я проверял, но тебе просто повезло, что в данной задаче важно, чтобы предел отношения был равен 1. Твои приближения не являются строгим доказательством.

задача (трудная!)

№ 18

Willy

Дата : 19-10-05, Срд, 03:05:12

Феликс, в данной задаче, требовалось не точное решение, а асимптотика и приближеный метод быстро привел к цели, заметь это приближение строгое, а не эмпирическое, поскольку если надо с его помиощью можно получить и следующие приближения по m/M.

Я в своем решении дал только что разяснение с arcsin, не важно ставить там инетграле
-arcsin или arccos так как они отличаются ровно на pi/2.

[ 19-10-05, Срд, 09:10:30 Отредактировано: Willy ]

задача (трудная!)

№ 19

Феликс

Дата : 19-10-05, Срд, 04:10:41

Моё доказательство можно немного упростить. Пусть a=(M-m)/(M+m).

Из формул

V(n+1)=a*V(n)+(1-a)*v(n) и v(n+1)=-(a+1)*V(n)+a*v(n) (1) следует

a*V(n+1)-(1-a)*v(n+1)=V(n) и (a+1)*V(n+1)+a*v(n+1)=v(n), значит

V(n-1)=a*V(n)-(1-a)*v(n) и v(n-1)=(a+1)*V(n)+a*v(n) (2).

Складывая (1) и (2) получим V(n+1)+V(n-1)=2*a*V(n) и v(n+1)+v(n-1)=2*a*v(n) или

V(n+1)=2*a*V(n)-V(n-1) и v(n+1)=2*a*v(n)-v(n-1), то есть идентичные рекурентные

соотношения для V(n) и v(n).

задача (трудная!)

№ 20

Феликс

Дата : 19-10-05, Срд, 04:18:12

Вилли, в данной задаче требовалось дать строгое доказательство. Попробуй сделать из своего доказательства строгое. Я не вижу, как это можно сделать.

[ 19-10-05, Срд, 10:32:18 Отредактировано: Феликс ]
[ 19-10-05, Срд, 10:37:56 Отредактировано: Феликс ]

задача (трудная!)

№ 21

Willy

Дата : 19-10-05, Срд, 06:27:33

Феликс, да никому уже эта строгость неинтересна, ведь формулы все получаются правильные. Но тем не менее смотри V=V(n*eps), где eps=2sqrt(m/M)<<1, то есть eps - малый параметр.
delta(V)=V((n+1)eps)-V(n*eps)= V(n*eps+eps)-V(n*eps)=
=V(n*eps)+dV/d(n*eps)*eps+(1/2)d2V/d(n*eps)^2*eps^2+...-V(n*eps)= dV/d(n*eps)*eps+(1/2)d2V/d(n*eps)^2*eps^2+(1/3!)d3V/d(n*eps)^3*eps^3+...,

Поскольку все производные V', V'', V''', ... (где скажем V'=dV/d(n*eps))~V0*O(1)(очевидно для косинуса), в интересной для нас области когда n*eps~1, и поскольку eps<<1 ты можешь всеми членами с производными выше первой пренебречь (ряд ведь сходится, поэтому и отбрасываемый остаток его порядка V0*eps^2). В результате

delta(V)~V'*eps= dV/d(n*eps)*eps=[(dV/dn)/eps]*eps= dV/dn, что мы и предполагали.

[ 19-10-05, Срд, 12:28:12 Отредактировано: Willy ]
[ 19-10-05, Срд, 12:29:49 Отредактировано: Willy ]
[ 19-10-05, Срд, 13:34:24 Отредактировано: Willy ]

задача (трудная!)

№ 22

Феликс

Дата : 19-10-05, Срд, 08:23:04

Вилли, я согласен, что: |(cos((n+1)*eps)-cos(n*eps))-(-eps*sin(n*eps))|<eps^2.
Это верно всегда независимо от допущения n*eps~1, которое мы заранее не знаем.

Обозначим настоящее решение через VV, чтобы отличать его от твоего V: V(n)=V0*cos(n*2*sqrt(m/M))

Тогда

|delta(V)-(-(m/M)(2V+2sqrt[(V0^2-V^2)M/m]))|<6*V0*(m/M)->0 при m/M->0 и

delta(VV)=-(m/M)(2VV+2sqrt[(V0^2-VV^2)M/m])

Исходя из этого, что можно сказать о VV? В каком смысле VV близко к V и почему?

задача (трудная!)

№ 23

Willy

Дата : 19-10-05, Срд, 09:04:42

Феликс, но тут мы действуем как обычно в теории возмущений, методом скажем последовательных приближений, или представляя точное решение в виде ряда VV=V+eps*V1+eps^2*V2+ ... . To есть я вычислил нулевое приближение V к точному VV, далее можно продолжать анализ и вычислять следующие члены ряда, смотреть не расходится ли этот ряд, и т. д., потом, если не дай бог расходится, смотреть сколько членов надо брать при данном eps. Но заниматься этим лень, поскольку ответ уже получен и ясно, что приближенное решение стремится к твоему точному при eps->0. Хорошо, что данная задачка допускает точное аналитическое решение, но если бы его не было, то мой метод был бы единственным возможным выходом.

задача (трудная!)

№ 24

Феликс

Дата : 19-10-05, Срд, 09:20:48

Вилли, коль акавод!