Cool Folders ® :: Форум Игротека

1984

Дата : 06-06-06, Втр, 17:43:17

Располагая цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 в виде последовательных слагаемых, и используя все цифры по одному разу в этих слогаемых, попробуйте получить сумму равную 1984. Есть мнение, что это невозможно, почему? Но, известно, что используя 9 цифр из указанных выше 10, можно представить число 1984 в виде суммы отдельных слагаемых. Какая цифра при этом лишняя?

1984

№ 2

Большой Грызь

Дата : 07-06-06, Срд, 00:37:56

Остаток от деления на 9 суммы любых чисел, составленных из приведенных цифр, будет равен остатку от деления на 9 суммы этих цифр (док-во простое, основывается на признаке делимости на 9).
0+1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45

Получаем 45 mod 9 = 0.
А с другой стороны получаем 1984 mod 9 = 4.
Потому невозможно.

А лишняя цифра - 5. Убирая ее из списка цифр, получаем сумму цифр, дающую при деление на 9 тот же остаток, что и 1984.
Ответ единственный, убирание любой другой цифры даст другой остаток.

...everything is possible cause noone has to hide beyond the invisible...

1984

№ 3

MigaRU

Дата : 07-06-06, Срд, 06:07:38

Вы меня простите, глупую, но почему рассматривается остатки при делении именно на 9? И еще, а не могли бы Вы привести конкретный пример этой суммы. (очень надо)

1984

№ 4

Большой Грызь

Дата : 07-06-06, Срд, 06:14:31

Вы меня простите, глупую, но почему рассматривается остатки при делении именно на 9?

А почему нет?

Когда есть некая задача получить из чего-то что-то и просят доказать невозможность этого, то обычно ищут какой-то неизменяемый признак и показывают, что результат этому признаку не соответствует. Я выбрал деление на 9 - оно сработало. Т.е. я указал, что как числа из цифр не делай, а сумма этих чисел будет делиться на 9. В то время как 1984 на 9 не делится. Вот и док-во невозможности.
(В таких задачах, кстати, признак делимости на 9 очень часто используется).

Можно более простой пример привести - можно ли получить 2001, суммируя сколько угодно раз числа 18 и 27 (т.е., к примеру: 27+27+27....+27+18+18+...18). Ответ - нет. Потому что 18 и 27 делятся на 9, значит, сколько раз их не суммируй - сумма тоже будет делиться на 9. А число 2001 на 9 не делится. Значит, суммируя числа 18 и 27 получить 2001 нельзя.