Cool Folders ® :: Форум Игротека

Неравенство

Дата : 11-08-09, Втр, 15:43:25

Докажите, что (x1+x2+x3+x4+x5)^2 не меньше чем 4(x1*x2+x2*x3+x3*x4+x4*x5+x5*x1),
для любых положительных чисел x1, x2, x3, x4 и x5.

Неравенство

№ 2

Willy

Дата : 13-08-09, Чтв, 06:35:13

Чего-то я видимо недопонимаю, это задачка для второго курса на квадратичные формы. Раскрываем скобки в (x1+x2+x3+x4+x5)^2 вычитаем 4(x1*x2+x2*x3+x3*x4+x4*x5+x5*x1), получаем квадратичную форму, дальше применяем критерий Сильвестра для неотрицательной определенности, первый угловой минор матрицы, соответствующей этой форме равен 1, далее со второго по 4-й нули, а 5-й равен 16, то есть все они неотрицательны, откуда следует что форма неотрицательно определена, что и является доказательством. А в чем соль?

[ 13-08-09, Чтв, 13:36:38 Отредактировано: Willy ]

Неравенство

№ 3

Феликс

Дата : 13-08-09, Чтв, 07:20:52

Вилли

Это олимпиадная задача для школьников, которые не знают, что такое квадратичная форма и критерий Сильвестра. Ты бы ещё производные использовал для нахождения минимума функции

Неравенство

№ 4

Willy

Дата : 13-08-09, Чтв, 08:20:37

Сейчас ни один школьник минимум без производной не вычисляет - времена изменились

. Но идею я понял, школьникам предложили просто привести квадратичную форму к сумме квадратов в новых переменных, не зная методов линейной алгебры. Или есть решение поизящнее?

Неравенство

№ 5

Феликс

Дата : 13-08-09, Чтв, 08:37:23

Я нашёл простое решение без замены переменных и без приведения к сумме квадратов.

Неравенство

№ 6

Паша

Дата : 30-08-09, Вск, 00:10:19

Для чётного числа переменных это элементарно доказывается...

[ 30-08-09, Вск, 12:14:17 Отредактировано: Паша ]

Неравенство

№ 7

Паша

Дата : 30-08-09, Вск, 05:24:54

Поставим на край наименьшее значение, тогда вместо 4x1x5 подставим 4x1x4 + 4x2x5 , прибавим (x1-x2+x3-x4+x5)^2 и получим бОльшее значение, которое как раз и будет равно (x1+x2+x3+x4+x5)^2

[ 30-08-09, Вск, 14:27:35 Отредактировано: Паша ]

Неравенство

№ 8

Феликс

Дата : 02-09-09, Срд, 09:29:28

Красивое решение, Паша.

Моё решение:

((x1+x3+x5)+(x2+x4))^2 не меньше 4*(x1+x3+x5)(x2+x4), а дальше, как у тебя вначале:
4*x1*x4 + 4*x2*x5 не меньше чем 4*x1*x5